Как гениальная формула, вырезанная на мосту, изменила математическую историю

16 октября 1843 года ирландский математик Уильям Роуэн Гамильтон испытал прозрение во время прогулки по Королевскому каналу Дублина. Он был так взволнован, что достал перочинный ножик и вырезал свое открытие прямо там, на Брумском мосту.

Это самое известное граффити в истории математики, но выглядит оно довольно скромно:

i ² = j ² = k ² = -1

Однако открытие Гамильтона изменило способ представления информации математиками. А это, в свою очередь, упростило множество технических приложений – от расчета сил при проектировании моста, аппарата МРТ или ветряной турбины до программирования поисковых систем и ориентации марсохода на Марсе.

Итак, что означает это знаменитое граффити?

Вращение объектов

Математическая задача, которую решал Гамильтон нужно было решить, как представить взаимосвязь между различными направлениями в трехмерном пространстве. Направление важно при описании сил и скоростей, но Гамильтона также интересовали трехмерные вращения.

Математики уже знали, как представить положение объекта с помощью таких координат, как x, y и z, но выяснение того, что происходит с этими координатами при вращении объекта, требовало сложной сферической геометрии. Гамильтон хотел более простой метод.

Его вдохновил замечательный способ представления двумерного вращения.

Хитрость заключалась в использовании так называемых «комплексных чисел», которые имеют «реальная» часть и «мнимая» часть. Мнимая часть кратна числу i, «квадратному корню из минус одного», которое определяется уравнением i ² = –1.

К началу 1800-х годов несколько математиков, в том числе Жан Арган и Джон Уоррен, обнаружили, что комплексное число можно представить точкой на плоскости. Уоррен также показал, что математически довольно просто повернуть линию на 90° в этой новой сложной плоскости, как повернуть стрелку часов назад с 12.15 на 12.00. Вот что происходит, когда вы умножаете число на i.

Гамильтон был очень впечатлен этой связью между комплексными числами и геометрией, и приступил к попытке сделать это в трех измерениях. Он представил себе трехмерную комплексную плоскость со второй воображаемой осью, направленной ко второму мнимому числу j, перпендикулярной двум другим осям.

На это у него ушло много трудных месяцев. осознавать, что если он хотел расширить двумерное вращательное волшебство умножения на i, ему нужны были четырех-мерные комплексные числа с третьим мнимым числом, k.

В этом четырехмерном математическом пространстве ось k будет перпендикулярна трем остальным. Мало того, что k будет определяться как k ² = –1, для его определения также потребуется k = ij = – джи. (Объединив эти два уравнения для k, получим ijk = –1.)

Объединив все это вместе, получим i ² = j ² = k ² = ijk = –1, открытие, которое поразило Гамильтона, как молния на Брумском мосту.

Кватернионы и векторы

Гамильтон назвал свои четырехмерные числа «кватернионами» и использовал их для расчета геометрических вращений в трехмерном пространстве. Это тот тип вращения, который сегодня используется, скажем, для перемещения робота или ориентации спутника.

Но большая часть практической магии проявляется в этом, когда вы рассматриваете только мнимую часть кватерниона. Это то, что Гамильтон назвал «вектором».

Вектор кодирует одновременно два вида информации, наиболее известный из которых — величина и направление пространственной величины, такой как сила, скорость или относительное положение. Например, чтобы представить положение объекта (x, y, z) относительно «начала координат» (нулевой точки осей положения). ), Гамильтон визуализировал стрелку, указывающую от начала координат к местоположению объекта. Стрелка представляет «вектор положения» x i + y j + z k.

Компонентами этого вектора являются числа x, y и z – расстояние, на которое стрелка проходит вдоль каждой из трех осей. (Другие векторы будут иметь другие компоненты в зависимости от их величины и единиц измерения.)

Полвека спустя эксцентричный английский телеграфист Оливер Хевисайд помог положить начало современному векторному анализу, заменив воображаемую структуру Гамильтона i, j, k реальными единичными векторами, i, j, k. Но в любом случае компоненты вектора остаются прежними – и, следовательно, стрелка и основные правила умножения векторов тоже остаются прежними.

Гамильтон определил два способа умножения векторов. Один производит число (сегодня это называется скалярным или скалярным произведением), а другой — вектор (известный как вектор или векторное произведение). Сегодня эти умножения используются во множестве приложений, например, в формуле электромагнитной силы, которая лежит в основе всех наших электронных устройств.

Единый математический объект

Без ведома Гамильтона, француза математик Олинде Родригес придумал версию этих произведений всего тремя годами ранее в своей работе по вращениям. Но называть умножения Родригеса произведением векторов — это непредусмотрительность. Именно Гамильтон связал отдельные компоненты в единую величину — вектор.

Все остальные, от Исаака Ньютона до Родригеса, не имели представления о едином математическом объекте, объединяющем компоненты положения или силы. (На самом деле, был один человек, у которого была подобная идея: немецкий математик-самоучка по имени Герман Грассман, который независимо изобрел менее прозрачную векторную систему одновременно с Гамильтоном.)

Гамильтон также разработал компактные обозначения, чтобы сделать его уравнения краткими и элегантными. Он использовал греческую букву для обозначения кватерниона или вектора, но сегодня, вслед за Хевисайдом, принято использовать латинскую букву, выделенную жирным шрифтом.

Эта компактная запись изменила способ представления математиками физических величин в трехмерном пространстве.

Возьмем, к примеру, одно из уравнений Максвелла, связывающее электрическое и магнитное поля:

С помощью всего лишь нескольких символов (мы не будем вдаваться в физический смысл ∂/∂t и ∇ ×), это показывает, как вектор электрического поля (E) распространяется в пространстве в ответ на изменения вектора магнитного поля (B ).

Без векторной записи это было бы записано как три отдельных уравнения (по одному для каждого компонента B и E) – каждое из которых представляет собой клубок. координат, умножения и вычитания.

Сила настойчивости

Я выбрал одно из уравнений Максвелла в качестве примера, потому что причудливый шотландец Джеймс Клерк Максвелл был первым крупным физиком, осознавшим силу компактной векторной символики. К сожалению, Гамильтон не дожил до поддержки Максвелла. Но он никогда не отказывался от своей веры в свой новый способ представления физических величин.

Настойчивость Гамильтона перед лицом общепринятого неприятия действительно тронула меня, когда я работал над своей книгой о векторах. Он надеялся, что однажды – «неважно когда» – его отблагодарят за открытие, но это было не тщеславие. Он был воодушевлен возможными вариантами применения, которые он предусмотрел.

Он был бы на седьмом небе от счастья, что векторы так широко используются сегодня, и что они могут представлять как цифровую, так и физическую информацию. Но ему особенно приятно, что при программировании ротаций кватернионы по-прежнему часто являются лучшим выбором — как знают НАСА и программисты компьютерной графики.

В знак признания достижений Гамильтона любители математики повторяют его знаменитую прогулку каждый 16 октября. в честь Дня Гамильтона. Но мы все ежедневно пользуемся технологическими плодами этих скромных граффити.

Робин Арианрод, филиал, Школа математики, Университет Монаша

Эта статья переиздана из журнала The Conversation под лицензией Creative Commons. Прочтите оригинал статьи.