RW Space

На прошлой неделе OpenAI шокировала математическое сообщество, сообщив, что одна из ее внутренних моделей искусственного интеллекта (ИИ) нашла контрпример знаменитой гипотезе, выдвинутой легендарным венгерским математиком Паулем Эрдешем в 1946 году.

Проблема плоского единичного расстояния, или проблема Эрдеша 90, интриговала математиков на протяжении десятилетий.

Новый результат — не просто любопытство. Канадский математик Дэниел Литт описал это как «первый результат, полученный ИИ автономно, который сам по себе мне интересен».

Прорыв, достигнутый с помощью модели ИИ общего назначения, а не модели, специализированной для математики, также подчеркивает, как ИИ меняет сами математические исследования.

Через несколько дней после статьи OpenAI американский математик Уилл Сэвин последовал той же логике рассуждений и получил улучшенный результат. Также на прошлой неделе команда Google DeepMind использовала одну из своих моделей для решения девяти менее открытых проблем, оставленных Эрдёшем.

В то же время подобные результаты показывают нам, в каких математических задачах хороши нынешние модели ИИ, а в чем их возможности все еще неясны.

Точки и линии

Пол Эрдеш был одним из самых плодовитых математиков двадцатого века. Он был известен тем, что задавал обманчиво простые вопросы, на решение которых зачастую уходили десятилетия усилий.

На первый взгляд основная проблема кажется относительно простой.

Предположим, у вас есть некоторое количество точек (назовем число n), нарисованных на бесконечно большом листе бумаги. Учитывая, что вы можете расположить точки так, как вам нравится, сколько пар точек можно расположить на расстоянии ровно одной единицы расстояния друг от друга?

Если вы попробуете эту задачу самостоятельно (на предположительно конечном листе бумаги), вы можете быстро склониться к квадратной сетке как многообещающему кандидату на лучшее расположение. Интервал сетки естественным образом создает множество пар на одинаковом расстоянии друг от друга.

Эта интуиция во многом повлияла на ранние размышления об этой проблеме. По мере роста количества точек сеткообразные расположения продолжают оставаться чрезвычайно эффективными.

На протяжении десятилетий широко распространено мнение, что эти в высшей степени регулярные структуры были настолько хороши, насколько это возможно.

Сам Эрдёш предположил, что никакая конструкция не может существенно улучшить эти интуитивные расположения, даже для чрезвычайно большого количества точек.

(Новый лучший результат, полученный Савином, как сообщается, начинает приносить улучшения только примерно в течение примерно 10^2000000 баллов – это единица, за которой следуют два миллиона нулей.)

За последние 80 лет математики пытались доказать, что Эрдеш прав или нет. Их усилия связали эту проблему с другими областями математики, такими как геометрия инцидентности, теория графов и экстремальная комбинаторика.

Хотя полное доказательство оставалось неясным, существовало общее ощущение, что гипотеза Эрдёша, вероятно, верна.

Однако недавний прорыв OpenAI доказал, что интуиция Эрдеша ошибочна. В новом результате используются инструменты из области математики, называемой теорией алгебраических чисел, чтобы показать, что существуют шаблоны точек, которые включают гораздо больше пар единичных расстояний, чем квадратная сетка, для бесконечного числа значений n.

Без колебаний

В статье OpenAI, опубликованной вместе с новой статьей, несколько ведущих математиков отметили результат.

Призер Филдса Тимоти Гауэрс написал, что если бы исследователь-человек Если представить статью с этим результатом в престижный журнал Annals of Mathematics, он рекомендовал бы публикацию «без каких-либо колебаний».

Он также добавил, что ни одно предыдущее доказательство, созданное ИИ, не приближалось к такому уровню сложности.

Этот прорыв также представляет собой первую крупную математическую открытую задачу, решенную с помощью ИИ с минимальным вмешательством человека, помимо первоначальной подсказки. В сопроводительном документе показана подсказка, данная модели, а также изложена «цепочка мыслей», проводимая моделью.

Это возобновило более широкие вопросы о возможностях ИИ помогать в математических исследованиях и выполнять их.

Три ключа к математическим исследованиям

Математики-исследователи уже давно используют компьютеры, но их работа редко основывается только на вычислениях.

Большинство крупных прорывов происходят в результате деликатное сочетание трех вещей: опыта, накопленного годами, постоянных усилий по творческому применению этого опыта для изучения идей (многие из которых оказываются тупиковыми) и случайных концептуальных скачков, которые внезапно реорганизуют понимание проблемы.

Первые две — это области, в которых модели ИИ превосходны: как отметил Гауэрс, большие языковые модели, такие как ChatGPT, обладают «энциклопедическими знаниями в математике».

Более того, они могут следовать огромному количеству умозрительных линий расследования, даже те, которые вряд ли приведут к чему-либо, без ограничений по времени.

Последнее, похоже, и стало здесь ключом к успеху. Оглядываясь назад, кажется, что эксперт, получивший небольшое количество подсказок, скорее всего, сможет прийти к тому же доказательству.

Как отмечает Гауэрс:

Многие идеи, необходимые для доказательства, уже присутствовали в литературе, и для таких идей либо не требуется никаких подсказок, поскольку эксперт знает об этом фрагменте литературы, либо достаточно общей подсказки «поищите».

Лампочка моменты

Сложнее вопрос заключается в том, какой вклад ИИ может внести в настоящие концептуальные скачки. Эти острые моменты прозрения, когда момент лампочки переосмысливает проблему совершенно по-новому, часто рассматриваются как самая человечная часть математики.

По теме: Была обнаружена удивительная математическая закономерность, скрывающаяся в истории Земли

Эти скачки трудно формализовать и еще труднее предсказать. Остается неясным, смогут ли модели ИИ воспроизвести их, даже с учетом недавних достижений.

Очевидно, что модели ИИ вызывают сейсмический сдвиг в способах открытия математики.

На протяжении веков прогресс в математике почти полностью зависел от человеческого творчества и настойчивости.

Теперь исследователи работают вместе с системами, способными автономно исследовать огромные пространства идей и вносить вклад в решение проблем, которые раньше считались доступными только человеческому пониманию.

Мелисса Ли, старший преподаватель Школы математики Университета Монаша

Эта статья переиздана из The Conversation под лицензией Creative Commons. Прочтите оригинал статьи.